Matematiquices : Matemática elementar e para todos

A Mosca

2008-05-15T14:23:00.002+01:00

A primeira vez que resolvi este problema... houve uma pessoa que ficou com ciúmes da pessoa que me pôs o problema.
Suponhamos que temos dois comboios na mesma linha, em sentidos contrários que partem cada um deles de cada um dos extremos da linha.
Cada comboio anda a 60 Km/h... a linha tem 120Km.
Junto com um dos comboios parte uma mosca a 80Km/h. Que ao encontrar o outro comboio inverte o sentido do voo e voa na direcção do 1º comboio, e mais uma vez, assim que o encontra volta a inverter o sentido e assim sucessivamente.
Que distância percorreu a mosca?
Para quem tem conhecimentos um pouco menos elementares: resolva de outra forma, mais especificamente utilizando séries...
Para apenas quem tem conhecimentos elementares: são mais do que suficientes...

Problema 7: A sucessão de Fibonacci (I)

2008-02-25T18:44:00.005Z

Bem. Vamos lá a uma muito fácil.
Considere-se a sucessão 1,1,2,3,5,8,13,21... ou seja, a sucessão em que cada elemento é a soma dos dois anteriores, e em que os dois primeiros elementos são 1 (A esta sucessão chamamos sucessão de Fibonacci. Quem for curioso que faça uma pequena pesquisa na internet )

Pergunta: Se eu somar os n primeiros termos quanto é que eu tenho?
A questão que hoje vos deixo é precisamente esta: conseguem arranjar-me uma formula simples para a soma dos n primeiros termos da sucessão de Fibonacci?

(Para quem preferir, F_n+2=F_n+1+F_n...

F₀+F₁+F₂+F₃+...+F_n-1=?)

Problema 5: resolução

2007-09-23T19:35:00.002+01:00

Embora eu tenha proposto a decomposição de 101! em factores primos, tal não é necessário. Facilmente se reconhece que o número de zeros no fim está associado á potência máxima de 10 que divide 101! Mas como 10=5×2, então o menor dos expoentes do 2 ou do 5 na decomposição de 101! em factores primos dará o expoente desse 10.
Ora... de 1 a 101 há 50 números pares. Desses, 25 são múltiplos de 4 (logo, contados pelo menos duas vezes). Desses, 12 são múltiplos de 8 (logo contados pelo menos 3 vezes), desses, 6 são múltiplos de 16, e desses 3 são múltiplos de 32 e desses, 1 é múltiplo de 64.
Ou seja, na decomposição de 101! em factores primos, 2 aparece 50+25+12+6+3+1=97 vezes.
Quanto ao 5.
De 1 a 101 existem 20 números divisíveis por 5. Desses, 4 são divisíveis por 25, logo contados duas vezes...
Assim sendo, o total de vezes que o 5 aparece é 20+4=24, ou seja, 24 vezes.
Assim o expoente do 10 é min{97,24}=24.
Logo, 101! tem 24 zeros.
Pergunta adicional: em quantos zeros termina 105! :) ?

Só a título de curiosidade:
101!=2⁹⁷×3⁴⁸×5²⁴×7¹⁶×11⁹×13⁷×17⁵×19⁵×23⁴×29³×31³×37²×41²×43²×47²

×53×59×61×67×71×73×79×83×89×97×101

Problema 6: Euromilhões e Totoloto

2007-09-18T21:18:00.000+01:00

Este é muito bom! Mas requer que o leitor saiba o que são arranjos e combinações.
O problema que eu proponho é simples: justificar todos aqueles números que estão atrás de cada boletim do euromilhões ou do totoloto.
Quanto ao problema do 101!, a solução é 24. O truque é simples: Decomponha 100! em factores primos e a conclusão é imediata (... podem por comentários a esta resposta. Eu eventualmente um dia vou escrever a resolução)

Problema 5: Em quantos zeros termina o factorial de 101?

2007-06-04T19:13:00.000+01:00

A pergunta é mesmo a do título....
por exemplo 6!=6x5x4x3x2x1=720, termina com um zero
10!=10x9x8x7x6x5x4x3x2x1=3628800, termina com dois zeros...
Mas o desafio que vos deixo é mais interessante: digam-me com quantos zeros termina 101! sem recorrer a uma calculadora ou computador, ou seja... recorrendo apenas a raciocínio e eventualmente, lápis e papel... e sem ter de calcular 101!

Até breve... pensem no assunto.

PS: este problema, e a respectiva solução surgiram numa conversa com o meu professor de Teoria Elementar dos Números, o Prof. Egídio Pereira, em 1998.

Problema 4: Resolução

2006-06-16T03:17:00.000+01:00

Em primeiro lugar, peço desculpa por só ter voltado hoje ao blog, mas tenho andado meio afastado da internet.
Mas, vamos ao que nos interessa :)
De acordo com http://www.segnalidivita.com/calendario/1974.htm foi numa Quinta-feira.
Será que concordamos com eles?

Resolução:
Entre 1 de Janeiro de 1974 e 1 de Janeiro de 2006 passaram 32 anos.
Desses 32, 8 foram bissextos (1976,1980,1984,1988,1992,1996,2000,2004).
Assim, sendo tivemos 32-8=24 anos comuns.
Ora, um ano comum tem 365 dias e um bissexto 366.
Assim sendo, entre 1/1/1974 e 1/1/2006 passaram 24 × 365+8 × 366=11688 dias.
Como ambos os anos são comuns, então entre 25/04/2006 passaram tambem 11688 dias.
Como

11688 = 1669 × 7 + 5

Passaram 1669 semanas e 5 dias.
Ora, se numa Terça feira recuarmos 5 dias,vamos parar a uma Quinta-feira:

5ª	6ª	Sábado	Domingo	2ª	3ª
5	4	3	2	1	0

Atendendo a estes cálculos, claro que concordo com o calendário :)
Este método pode ser utilizado para calcular em que dia da semana caiu qualquer dia, como por exemplo o dia em que nasceram pessoas conhecidas.
Claro que quem possui conhecimentos matemáticos mais avançados possui uma forma ainda mais simples e rápida de resolver este problema.

Problema 4: Uma questão de calendário

2006-04-27T10:54:00.001+01:00

Em que dia do ano caiu o 25 de Abril de 1974?
Responder recorrendo a Matemática e não a um calendário, e tendo em conta que hoje , 27/04/2006 é quinta-feira. Como sempre, resolver recorrendo a conhecimentos elementares de Matemática.
Até para a semana.

PmatE - Projecto Matemática Ensino

2006-04-22T13:21:00.000+01:00

"O Projecto Matemática Ensino (PmatE) da Universidade de Aveiro tem desenvolvido desde 1990 uma plataforma de Ensino Assistido por Computador, actualmente disponível apenas na Internet, abrangendo os vários graus de ensino, do Básico ao Superior.

Os programas têm sido desenvolvidos quer no modo competição, quer no modo formativo (diagnóstico e treino). Estes programas são instrumentos de apoio à avaliação, à aprendizagem e ao ensino.

Tem como objectivo básico e transversal o aumento ou a criação de gosto pela matemática, nomeadamente pelas matemáticas escolares.

O Projecto Matemática Ensino está a comemorar 15 anos de existência.
No seguimento deste acontecimento apresentamos algumas mensagens que registam este momento."

O site pode ser consultado em http://pmate.ua.pt local de onde tirei este pequeno texto.
Exemplos de actividades onde está envolvido o PmatE:
EQUAmat
REDEmat
(sugiro uma visita aos sites para saber exactamente do que se trata)

Intervalo

2006-04-05T10:40:00.000+01:00

Não postarei problemas até depois da Páscoa.

Problema 3: Quantas páginas? - Resolução

2006-03-31T05:44:00.000+01:00

De 1 a 9 são 9 números com um algarismo

de 10 a 99 são 90 números com dois algarismos

de 100 a 999 são 900 números com três algarismos

Isto implica que:

se o livro tivesse 9 páginas teria 9 algarismos
se tivesse 99 páginas teria 9+90 × 2 =189 algarismos.
se tivesse 999 páginas teria 9 × 1 + 90 × 2 + 900 × 3 algarismos=189+2700=2889 algarismos.

Conclui-se então que o número de páginas está entre 99 e 999 ou seja, que é um número que pode ser escrito na forma 189+n×3, onde n é o número de números com 3 algarismos.

1131=189+n×3
⇔1131-189=3n
⇔942=3n
⇔314=n.

Se ordenarmos os números com 3 algarismos por ordem crescente,...

o 1º número com 3 algarismos é 100,
o 2º é 101
o 3º é 102
...
.o 314º é 413

Conclusão: o livro tem 413 páginas

Problema 3: Quantas páginas?

2006-03-24T04:18:00.000Z

Para numerar as páginas de um livro, utilizaram-se 1131 algarismos. Quantas páginas tem o livro?

Até para a semana.

Problema 2: A que altura está a mosca? - Resolução

2006-03-23T19:40:00.000Z

Notemos que os centros de cada círculo são os vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 2×r (r= raio do círculo).
Assim sendo, a altura da mosca é:

Altura= raio +altura do triângulo+ raio
= 2×raio + altura do triângulo
= diâmetro + altura do triângulo

A altura do triângulo pode ser calculada recorrendo ao teorema de Pitágoras ou à trigonometria (neste caso notemos que todos os angulos internos de um triângulo equilátero medem 60º )

Assim sendo a altura do triângulo é

(d=diâmetro)

Fazendo com que a altura da mosca seja
no nosso caso, como d=50 cm, a altura é aproximadamente:

(1+0,86602540378443864676372317075294)× 50 cm = 93,301270189221932338186158537647 cm

ou seja, a mosca está a aproximadamente 93,3 cm do chão.

Problema 2: A que altura está a mosca?

2006-03-16T18:22:00.000Z

Três troncos de madeira cilíndrica com 50 cm de diâmetro cada um encontram-se pousados ao comprido no chão, como pretendo ilustrar com a figura.
A que altura relativamente ao chão está a mosca que se encontra no ponto mais alto do tronco superior?

Até para a semana!

Problema 1: O Balão - Resolução

2006-03-16T15:13:00.000Z

Convém não esquecer que este problema é tridimensional.
Seja B' o ponto que resulta da projecção ortogonal do Balão (B) sobre o plano definido pelas 4 estações (como indicado na figura 1) e:

P₁ é o ponto resultante da projecção ortogonal de B' sobre o segmento [R₁R₂]

P₂ é o ponto resultante da projecção ortogonal de B' sobre o segmento [R₂R₃]

P₂ é o ponto resultante da projecção ortogonal de B' sobre o segmento [R₃R₄]

P₄ é o ponto resultante da projecção ortogonal de B' sobre o segmento [R₄R₁]

A partir da figura 2 podemos ver que:

E, pelo Teorema de Pitágoras, são válidas as seguintes 8 igualdades:

Por outro lado, pela figura 1, são válidas as igualdades

Assim sendo, o problema reduz-se a um mero problema de manipulação, pois:
Como se queria mostrar.

Problema 1: O Balão

2006-03-09T09:20:00.000Z

Quatro estações de radar estão dispostas nos vértices de um quadrado, como a figura pretende ilustrar.

Todas as noites a determinada hora, os operadores das quatro estações têm que medir a distância da respectiva estação a um balão que sobrevoa a zona.
Certa noite o operador da estação R₄ adormeceu e não fez a medição que lhe competia. Descobriu no entanto que podia determinar a distância pretendida a partir das obtidas pelas outras estações utilizando a fórmula:

d₁²+d₃²=d₂²+d₄²

onde d₁ é a distância obtida por R₁, d₂ por R₂ ... etc.

Demonstre a fórmula.
Até à próxima semana com a resolução.

Problema 0 : Resolução

2006-03-09T08:55:00.001Z

Uma vez que cada pessoa cumprimentou todas as anteriores, cada pessoa deu n-1 apertos de mão.
Se somarmos todos os apertos de mão que cada pessoa deu o resultado será n×(n-1).
Este resulado é o dobro do número de apertos de mão visto que cada um dos intervenientes no aperto de mão está a contá-lo.

Assim, para resolver o nosso problema basta resolver a equação de 2º grau
n×(n-1)=2×190.
Que, passando à forma canónica fica na forma

n²-n-380=0

Esta equação pode ser resolvida por exemplo pela fórmula resolvente.
As soluções são:

n=20 ou n=-19

Como é de esperar desprezamos a solução negativa ( a menos que algum de vós saiba dar apertos de mão negativos..)
E ficamos a saber que lá estiveram 20 pessoas.

Para quem percebeu esta resolução: quantos apertos de mão seriam dados se estivessem estado apenas 13 pessoas?

Problema 0: Apertos de mão

2006-03-02T05:08:00.000Z

Num pequeno convívio onde toda a gente se cumprimentou com um aperto de mão registaram-se 190 apertos de mão. Quantas pessoas participaram?

Resolver o problema com os conhecimentos adquiridos antes do ensino secundário, ou seja, até ao 9º ano de escolaridade.
Até daqui a uma semana para a resolução :)

Introdução

2006-03-02T04:58:00.000Z

Sejam bemvindos ao Matematiquices. Aqui neste blog publicarei semanalmente pelo menos um problema de alguma forma associado a Matemática e apresentarei a resolução na semana seguinte.
Quem quiser ou tiver paciência poderá apresentar a sua resolução na zona de comentários.
Não haverá prémios para ninguem mas quando for apresentada a minha resolução publicarei a lista de pessoas que acertaram.