Problema 1: O Balão - Resolução

Convém não esquecer que este problema é tridimensional.
Seja B' o ponto que resulta da projecção ortogonal do Balão (B) sobre o plano definido pelas 4 estações (como indicado na figura 1) e:

• P₁ é o ponto resultante da projecção ortogonal de B' sobre o segmento [R₁R₂]


• P₂ é o ponto resultante da projecção ortogonal de B' sobre o segmento [R₂R₃]


• P₂ é o ponto resultante da projecção ortogonal de B' sobre o segmento [R₃R₄]


• P₄ é o ponto resultante da projecção ortogonal de B' sobre o segmento [R₄R₁]
  

A partir da figura 2 podemos ver que:

E, pelo Teorema de Pitágoras, são válidas as seguintes 8 igualdades:

Por outro lado, pela figura 1, são válidas as igualdades


Assim sendo, o problema reduz-se a um mero problema de manipulação, pois:
Como se queria mostrar.