Problema 3: Quantas páginas? - Resolução

De 1 a 9 são 9 números com um algarismo

de 10 a 99 são 90 números com dois algarismos

de 100 a 999 são 900 números com três algarismos

Isto implica que:

• se o livro tivesse 9 páginas teria 9 algarismos
• se tivesse 99 páginas teria 9+90 × 2 =189 algarismos.
• se tivesse 999 páginas teria 9 × 1 + 90 × 2 + 900 × 3 algarismos=189+2700=2889 algarismos.

Conclui-se então que o número de páginas está entre 99 e 999 ou seja, que é um número que pode ser escrito na forma 189+n×3, onde n é o número de números com 3 algarismos.

1131=189+n×3
⇔1131-189=3n
⇔942=3n
⇔314=n.

Se ordenarmos os números com 3 algarismos por ordem crescente,...

• o 1º número com 3 algarismos é 100,
• o 2º é 101
• o 3º é 102
  ...
• .o 314º é 413

Conclusão: o livro tem 413 páginas

Problema 3: Quantas páginas?

Para numerar as páginas de um livro, utilizaram-se 1131 algarismos. Quantas páginas tem o livro?

Até para a semana.

Problema 2: A que altura está a mosca? - Resolução

Notemos que os centros de cada círculo são os vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 2×r (r= raio do círculo).
Assim sendo, a altura da mosca é:

Altura= raio +altura do triângulo+ raio
= 2×raio + altura do triângulo
= diâmetro + altura do triângulo

A altura do triângulo pode ser calculada recorrendo ao teorema de Pitágoras ou à trigonometria (neste caso notemos que todos os angulos internos de um triângulo equilátero medem 60º )

Assim sendo a altura do triângulo é

(d=diâmetro)

Fazendo com que a altura da mosca seja
no nosso caso, como d=50 cm, a altura é aproximadamente:

(1+0,86602540378443864676372317075294)× 50 cm = 93,301270189221932338186158537647 cm

ou seja, a mosca está a aproximadamente 93,3 cm do chão.

Problema 2: A que altura está a mosca?

Três troncos de madeira cilíndrica com 50 cm de diâmetro cada um encontram-se pousados ao comprido no chão, como pretendo ilustrar com a figura.
A que altura relativamente ao chão está a mosca que se encontra no ponto mais alto do tronco superior?

Até para a semana!

Problema 1: O Balão - Resolução

Convém não esquecer que este problema é tridimensional.
Seja B' o ponto que resulta da projecção ortogonal do Balão (B) sobre o plano definido pelas 4 estações (como indicado na figura 1) e:

• P₁ é o ponto resultante da projecção ortogonal de B' sobre o segmento [R₁R₂]


• P₂ é o ponto resultante da projecção ortogonal de B' sobre o segmento [R₂R₃]


• P₂ é o ponto resultante da projecção ortogonal de B' sobre o segmento [R₃R₄]


• P₄ é o ponto resultante da projecção ortogonal de B' sobre o segmento [R₄R₁]
  

A partir da figura 2 podemos ver que:

E, pelo Teorema de Pitágoras, são válidas as seguintes 8 igualdades:

Por outro lado, pela figura 1, são válidas as igualdades


Assim sendo, o problema reduz-se a um mero problema de manipulação, pois:
Como se queria mostrar.

Problema 1: O Balão

Quatro estações de radar estão dispostas nos vértices de um quadrado, como a figura pretende ilustrar.

Todas as noites a determinada hora, os operadores das quatro estações têm que medir a distância da respectiva estação a um balão que sobrevoa a zona.
Certa noite o operador da estação R₄ adormeceu e não fez a medição que lhe competia. Descobriu no entanto que podia determinar a distância pretendida a partir das obtidas pelas outras estações utilizando a fórmula:

d₁²+d₃²=d₂²+d₄²

onde d₁ é a distância obtida por R₁, d₂ por R₂ ... etc.

Demonstre a fórmula.
Até à próxima semana com a resolução.

Problema 0 : Resolução

Uma vez que cada pessoa cumprimentou todas as anteriores, cada pessoa deu n-1 apertos de mão.
Se somarmos todos os apertos de mão que cada pessoa deu o resultado será n×(n-1).
Este resulado é o dobro do número de apertos de mão visto que cada um dos intervenientes no aperto de mão está a contá-lo.

Assim, para resolver o nosso problema basta resolver a equação de 2º grau
n×(n-1)=2×190.
Que, passando à forma canónica fica na forma

n²-n-380=0

Esta equação pode ser resolvida por exemplo pela fórmula resolvente.
As soluções são:

n=20 ou n=-19

Como é de esperar desprezamos a solução negativa ( a menos que algum de vós saiba dar apertos de mão negativos..)
E ficamos a saber que lá estiveram 20 pessoas.

Para quem percebeu esta resolução: quantos apertos de mão seriam dados se estivessem estado apenas 13 pessoas?

Problema 0: Apertos de mão

Num pequeno convívio onde toda a gente se cumprimentou com um aperto de mão registaram-se 190 apertos de mão. Quantas pessoas participaram?

Resolver o problema com os conhecimentos adquiridos antes do ensino secundário, ou seja, até ao 9º ano de escolaridade.
Até daqui a uma semana para a resolução :)

Introdução

Sejam bemvindos ao Matematiquices. Aqui neste blog publicarei semanalmente pelo menos um problema de alguma forma associado a Matemática e apresentarei a resolução na semana seguinte.
Quem quiser ou tiver paciência poderá apresentar a sua resolução na zona de comentários.
Não haverá prémios para ninguem mas quando for apresentada a minha resolução publicarei a lista de pessoas que acertaram.